ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СТАТИКЕ

Пример 1. Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки.

Дано:

Схема балки (рис. 1).

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a =2 м, b =3 м, .

___________________________________

А и В .

Рис. 1

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ (рис. 2).

К балке приложена уравновешенная система сил, состоящая из активных сил и сил реакции.

Активные (заданные) силы:

Пара сил с моментом М , где

Сосредоточенная сила, заменяющая действие распределенной вдоль отрезка АС нагрузки интенсивностью q .

Величина

Линия действия силы проходит через середину отрезка АС .

Силы реакции (неизвестные силы):

Заменяет действие отброшенного подвижного шарнира (опора А ).

Реакция перпендикулярна поверхности, на которую опираются катки подвижного шарнира.

Заменяют действие отброшенного неподвижного шарнира (опора В ).

Составляющие реакции , направление которой заранее неизвестно.

Расчетная схема

Рис. 2

Для полученной плоской произвольной системы сил можно составить три уравнения равновесия:

Задача является статически определимой, так как число неизвестных сил (,,) - три- равно числу уравнений равновесия.

Поместим систему координат XY в точку А , ось AX направим вдоль балки. За центр моментов всех сил выберем точку В .

Составим уравнения равновесия:

Решая систему уравнений, найдем ,,.

Определив,, найдем величину силы реакции неподвижного шарнира

В целях проверки составим уравнение

Если в результате подстановки в правую часть этого равенства данных задачи и найденных сил реакций получим нуль, то задача решена - верно.

Реакции найдены верно. Неточность объясняется округлением при вычислении .

Ответ:

Пример 2. Для заданной плоской рамы определить реакции опор.

Дано:

Схема рамы рис.3

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a =2 м, b =3 м, .

______________________________

Определить реакции опор рамы.

Рис. 3

Решение:

Рассмотрим равновесие жесткой рамы АВЕС (рис. 4).

Расчетная схема

Рис. 4

Система сил приложенных к раме состоит из активных сил и сил реакций.

Активные силы:

Пара сил с моментом , , .

, заменяют действие распределенной нагрузки на отрезках ВД и ДЕ .

Линия действия силы проходит на расстоянии от точки В .

Линия действия силы проходит через середину отрезка ДЕ.

Силы реакции:

Заменяют действие жесткого защемления, которое ограничивает любое перемещение рамы в плоскости чертежа.

К раме приложена плоская произвольная система сил. Для нее можем составить три уравнения равновесия:

, ,

Задача является статистически определимой, так как число неизвестных тоже три - , , .

Составим уравнения равновесия, выбрав за центр моментов точку А, так как ее пересекают наибольшее число неизвестных сил.

Решая систему уравнений, найдем , , .

Для проверки полученных результатов составим уравнение моментов вокруг точки С.

Подставляя все значения, получим

Реакции найдены верно.

Ответ:

Пример 3 . Для заданной плоской рамы определить реакции опор.

Дано: вариант расчетной схемы (рис. 5);

Р 1 = 8 кН; Р 2 = 10 кН; q = 12 кН/м; М = 16 кНм; l = 0,1 м.

Определить реакции в опорах А и В .

Рис.5

Решение . Заменяем действие связей (опор) реакциями. Число, вид (сила или пара сил с моментом), а также направление реакций зависят от вида опор. В плоской статике для каждой опоры в отдельности можно проверить, какие направления движения запрещает телу данная опора. Проверяют два взаимно перпендикулярных смещения тела относительно опорной точки (А или В ) и поворот тела в плоскости действия внешних сил относительно этих точек. Если запрещено смещение, то будет реакция в виде силы по этому направлению, а если запрещен поворот, то будет реакция в виде пары сил с моментом (М А или М В).

Первоначально реакции можно выбирать в любую сторону. После определения значения реакции знак «плюс» у него будет говорить о том, что направление в эту сторону верное, а знак «минус» – о том, что правильное направление реакции противоположно выбранному (например, не вниз, а вверх для силы или по часовой стрелке, а не против неё для момента пары сил).

Исходя из вышесказанного, показаны реакции на рис. 5. В опоре А их две, т. к. опора запрещает перемещение по горизонтали и вертикали, а поворот вокруг точки А - разрешает. Момент М А не возникает, т. к. эта шарнирная опора не запрещает поворот телу вокруг точки А . В точке В одна реакция, т. к. запрещено перемещение только в одном направлении (вдоль невесомого рычага ВВ ¢ ).

заменяется эквивалентной сосредоточенной силой . Линия действия её проходит через центр тяжести эпюры (для прямоугольной эпюры центр тяжести на пересечении диагоналей, поэтому сила Q проходит через середину отрезка, на который действует q ). Величина силы Q равна площади эпюры, то есть

Затем необходимо выбрать оси координат x и y и разложить все силы и реакции не параллельные осям на составляющие параллельные им, используя правило параллелограмма. На рис.5 разложены силы , ,. При этом точка приложения результирующей и её составляющих должна быть одна и та же. Сами составляющие можно не обозначать, т. к. их модули легко выражаются через модуль результирующей и угол с одной из осей, который должен быть задан либо определен по другим заданным углам и показан на схеме. Например для силы Р 2 модуль горизонтальной составляющей равен , а вертикальной- .

Теперь можно составить три уравнения равновесия, а так как неизвестных реакций тоже три (,,), их значения легко находятся из этих уравнений. Знак у значения реакции, о чем говорилось выше, определяет правильность выбранных направлений реакций. Для схемы на рис. 5 уравнения проекций всех сил на оси х и y и уравнения моментов всех сил относительно точки А запишутся так:

Из первого уравнения находим значение R B , затем подставляем его со своим знаком в уравнения проекций и находим значения реакций Х А и У А.

В заключение отметим, что удобно уравнение моментов составлять относительно той точки, чтобы в нем оказалась одна неизвестная, т. е. чтобы эту точку пересекали две другие неизвестные реакции. Оси же удобно выбирать так, чтобы большее число сил оказались параллельны осям, что упрощает составление уравнений проекций.

Пример 4. Для заданной конструкции, состоящей из двух ломаных стержней, определить реакции опор и давление в промежуточном шарнире С .

Дано:

Схема конструкции (рис. 6).

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a =2 м, b =3 м, .

______________________________________

Определить реакции опор в точках А и В и давление в промежуточном шарнире С .

Рис. 6

Решение:

Рассмотрим равновесие всей конструкции (рис. 7).

К ней приложены:

активные силы ,, пара сил с моментом М , где

силы реакции:

, , , ,

Заменяют действие жесткого защемления;

Заменяет действие шарнирно-подвижной опоры А .

Расчетная схема

Рис. 7

Для полученной плоской произвольной системы сил можем составить три уравнения равновесия, а число неизвестных- четыре, , , .

Чтобы задача стала статически определимой, конструкцию расчленяем по внутренней связи - шарниру С и получаем еще две расчетные схемы (рис. 8, рис. 9).

Рис. 8Рис. 9

Заменяют действие тела АС на тело СВ , которое передается через шарнир С . Тело СВ передает свое действие на тело АС через тот же шарнир С , поэтому ; , .

Для трех расчетных схем в сумме можем составить девять уравнений равновесия, а число неизвестных – шесть , , , , , , то есть задача стала статически определима. Для решения задачи используем рис. 8, 9, а рис. 7 оставим для проверки.

Тело ВС (рис. 8)

Тело СА (рис. 9)

4)

5)

6)

Решаем систему шести уравнений с шестью неизвестными.

Проверка:

Реакции внешних опор в точках А и В найдены верно. Давление в шарнире С вычисляем по формуле

Ответ: , , , ,

Минусы означают, что направления инадо изменить на противоположные.

Пример 5. Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С .

Дано: = 9 кН; = 12 кН; = 26 кНм; = 4 кН/м.

Схема конструкции представлена на рис.10.

Рис.10

Решение:

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.11). Составим уравнение моментов сил относительно точки B .

Рис.11

где кН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (26) получает вид:

(2)

Второе уравнение с неизвестными и получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 12):

Рис. 12

Отсюда находим, что

кН.

Подставив найденное значение в уравнение (2) найдем значение :

Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:

2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на рис. 13.

Рис. 13

Системы сил, показанные на рис. 12 и 13, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (2) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее скользящей заделки С (рис. 14).

Рис. 14

Составим уравнение равновесия:

и из уравнения (2) находим:

Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:

Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении ().

Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части

,

Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.

кН

Ответ: Результаты расчета приведены в таблице.

							Момент, кНм
	X A	Y A	R A	X C	X B	Y B	M C
Для схемы на рис.11		18,4	19,9
Для схемы на рис.13	14,36	11,09	17,35	28,8	28,8	12,0	17,2

Пример 6.

Дано: вариант расчетной схемы (рис.15).

Р 1 = 14 кН; Р 2 = 8 кН; q = 10 кн/м;М = 6 кНм; АВ = 0,5 м; ВС = 0,4 м; CD = 0,8 м; DE = 0,3 м; EF = 0,6 м.

Определить реакции в опорах А и F .

Решение . Используя рекомендации примера 3, расставляем реакции в опорах. Их получается четыре (, , , ). Так как в плоской статике для одного тела можно составить только три уравнения равновесия, то для определения реакций необходимо разбить конструкцию на отдельные твердые тела так, чтобы число уравнений и неизвестных совпало. В данном случае можно разбить на два тела АВС D и DEF . При этом в месте разбиения, т. е. в точке D для каждого из двух тел появляются дополнительные реакции, определяемые по виду, числу и направлению так же, как и для точек А и F . При этом по третьему закону Ньютона они равны по значению и противоположно направлены для каждого из тел. Поэтому их можно обозначить одинаковыми буквами (см. рис. 16).

Рис. 15

Далее, как и в примере 3, заменяем распределенную нагрузку q сосредоточенной силой и находим её модуль . Затем выбираем оси координат и раскладываем все силы на рис. 15 и 16 на составляющие параллельные осям. После этого составляем уравнения равновесия для каждого из тел. Всего их получается шесть и неизвестных реакций тоже шесть (, , , , , ), поэтому система уравнений имеет решение, и можно найти модули, а с учетом знака модуля и правильное направление этих реакций (см. пример 3).

Рис. 16. Разбиение конструкции на два тела в точке D , т. е. в месте их соединения скользящей заделкой (трение в ней не учитывается)

Целесообразно так выбирать последовательность составления уравнений, чтобы из каждого последующего можно было определить какую-то одну из искомых реакций. В нашем случае удобно начать с тела DEF , т. к. для него имеем меньше неизвестных. Первым составим уравнение проекций на ось х, из которого найдем R F . Далее составим уравнения проекций на оси у и найдем Y D , а затем уравнение моментов относительно точки F и определим M D . После этого переходим к телу ABCD . Для него первым можно составить уравнения моментов относительно точки А и найти М А, а затем последовательно из уравнений проекций на оси найти X A , Y A . Для второго тела необходимо учитывать свои реакции Y D , M D , взяв их из рис.16, но значения этих реакций уже будут известны из уравнений для первого тела.

При этом значения всех ранее определенных реакций подставляются в последующие уравнения со своим знаком. Таким образом, уравнения запишутся так:

для тела DEF

для тела ABCD

В некоторых вариантах задан коэффициент трения в какой-то точке, например . Это означает, что в этой точке необходимо учесть силу трения , где N A реакция плоскости в этой точке. При разбиении конструкции в точке, где учитывается сила трения, на каждое из двух тел действует своя сила трения и реакция плоскости (поверхности). Они попарно противоположно направлены и равны по значению (как и реакции на рис.16).

Реакция N всегда перпендикулярна плоскости возможного скольжения тел либо касательной к поверхностям в точке скольжения, если там нет плоскости. Сила трения же направлена вдоль этой касательной либо по плоскости против скорости возможного скольжения. Приведенная выше формула для силы трения справедлива для случая предельного равновесия, когда скольжение вот-вот начнется (при непредельном равновесии сила трения меньше этого значения, а определяется её величина из уравнений равновесия). Таким образом, в вариантах задания на предельное равновесие с учетом силы трения к уравнениям равновесия для одного из тел необходимо добавить еще одно уравнение . Там, где учитывается сопротивление качению и задан коэффициент сопротивления качения , добавляются уравнения равновесия колеса (рис.17).

При предельном равновесии

Рис.17

Из последних уравнений, зная G , , R , можно найти N , F тр, T для начала качения без проскальзывания.

В заключение отметим, что разбиение конструкции на отдельные тела проводят в том месте (точке), где имеет место наименьшее число реакций. Часто это невесомый трос или невесомый ненагруженный рычаг с шарнирами на концах, которые соединяют два тела (рис 18).

Рис. 18

Пример 7 . Жесткая рама ABCD (рис. 19) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке б - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F =25 кН, =60º , Р =18 кН, =75º , М= 50 кНм, = 30°, а= 0,5 м.

Определить: реакции в точках A и В , вызы­ваемое действующими нагрузками.

Рис. 19

Указания. Задача – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если составлять уравнение относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F ’ и F ”, для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем коорди­натные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю T = Р) и реакции связей (реакцию неподвижной шарнирной опоры A изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравненияравновесия. При вычислении момента силы относительно точки A воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силуна состав­ляющие F΄ , F ˝ (, ) и учтем, что по теореме Вариньона: Получим:

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: X = -8,5кН; Y = -23,3кН; R = 7,3кН. Знаки указывают, что силы X A и Y A направлены противоположно силам, показан­ным на рис. 19.

Пример 8. Жесткая рама А BCD (рис.20) имеет в т. А неподвижную шарнирную опору, а т. D прикреплена к невесомому стержню. В т. С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р =20 кН. На раму действует пара силс моментомМ = 75 кНм и две силы F 1 =10 кН и F 2 =20 кН, составляющие со стержнями рамы углы =30 0 и =60 0 соответственно. При определении размеров рамы принять a =0,2 м. Определить реакции связей в точках А и D , вызванные действием нагрузки.

Дано : Р =20 кН, М =75 кНм , F 1 =10 кН, F 2 =20 кН, =30 0 , =60 0 , =60 0 , a = 0,2 м.

Определить: Х А, У А, R D .

Рис. 20

Указания. Задача – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении следует учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на составляющие и , для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда

Решение.

1.Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси х, у и изобразим действующие на раму силы: силы и , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей (реакцию неподвижной шарнирной опоры А представляем в виде составляющих; стержневая опора препятствует перемещению т. D рамы в направлении вдоль стержня,поэтомувтомженаправлениибудетдействоватьи реакция опоры ).

2. Составим уравнения равновесия рамы. Для равновесия произвольной плоской системы сил достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки на плоскости равнялись нулю.

При вычислении моментов сил и относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силы на составляющие , ; , и учтем, что .

Получим:

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин, и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Из уравнения (3) определяем R D =172,68 кН.

Из уравнения (1) определяем Х А = -195,52 кН.

Из уравнения (2) определяем У А = -81,34 кН.

Знаки «- » при величинах Х А и У А означают, что истинное направление этих реакций противоположно указанному на рисунке.

Проведемпроверку.

т. к. , то реакции опор найдены правильно.

Ответ: Х А = -195,52 кН, У А = -81,34 кН , R D = 172,68 кН.

Пример 9. Конструкция (рис. 21) состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С свободно опираются друг о друга. Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются: в точке А – жесткая заделка, в точке В – шарнир. На конструкцию действуют: пара сил с моментом М =80 кН·м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q =10 кН/м и силы: =15 кН и =25кН. При определении размеров конструкции принять а =0,35 м. Определить реакции связей в точках А, В и С.

Дано: М =80 кН·м, q =10 кН/м, F 1 =15 кН, F 2 =25 кН, а =0,35 м.

Определить: R A , M A , R B , R C .

Указания. Задача – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы, а затем равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, следует учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой также неизвестен.

Решение.

в ыполняем его в соответствии с изложенной выше методикой.

1. В данной задаче изучается равновесие системы, состоящей из жесткого угольника и стержня.

2. Выбираем систему координат ХАУ (см. рис. 21).

3. Активными нагрузками на данную систему являются: распределенная нагрузка интенсивностью q , , и момент М.

Рис.21

Изобразим на чертеже предполагаемые реакции связей. Так как жесткая заделка (в сечении А ) препятствует перемещению этого сечения стержня вдоль направлений Х и У , а также повороту стержня вокруг точки А , то в данном сечении в результате действия заделки на стержень возникают реакции , , . Шарнирная опора в точке В препятствует перемещению данной точки стержня вдоль направлений Х и У . Следовательно, в точке В возникают реакции , и . В точке С опоры стержня на угольник возникают реакция действия угольника на стержень и реакция действия стержня на угольник. Эти реакции направлены перпендикулярно плоскости угольника, причем R C = R ¢ С (согласно закону о равенстве действия и противодействия).

1. Задачу решаем способом расчленения. Рассмотрим сначала равновесие стержня ВС (рис. 21, б ). На стержень действуют реакции связей , , , сила и момент. Для полученной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, при этом сумму моментов внешних сил и реакций связей удобнее считать относительно точки В :

;;(1)

;; (2)

Из уравнения (3) получим: R c =132,38 кН.

Из уравнения (1) получим: Х В = -12,99 кН.

Из уравнения (2) получим: У В = -139,88 кН.

Реакция шарнира в точке В:

Теперь рассмотрим равновесие угольника СА (рис. 21, в ). На угольник действуют: реакции связей , сила q . Заметим, что R / C = R C =132,38 кН. Для данной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, при этом сумму моментов сил будем считать относительно точки С:

;;(4)

Из уравнения (4) получим: Х А = 17,75 кН.

Из уравнения (5) получим: У А = -143,13 кН.

Из уравнения (6) получим: М А = -91,53 кНм.

Задача решена.

А теперь для наглядного доказательства того, какое значение имеет правильный выбор точки, относительно которой составляется уравнение моментов, найдем сумму моментов всех сил относительно точки А (рис. 21, в ):

Из этого уравнения легко определить М А:

М А = -91,53 кНм.

Конечно, уравнение (6) дало то же значение М А, что и уравнение (7), но уравнение (7) короче и в него не входят неизвестные реакции Х А и У А, следовательно, им пользоваться удобнее.

Ответ: R A =144,22 кН, M A = -91,53 кНм, R B =140,48 кН,R C =R ¢ C =132,38 кН.

Пример 10 . На угольник АВС (), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. 22, а ). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору, и к нему приложена сила , а к угольнику - равномерно распределенная на участке q и пара с моментом М .

Рис. 22

Д а н о: F =10 кН,М =5 кНм,q = 20 кН/м,а =0,2 м.

О п р е д е л и т ь: реакции в точках А , С , D , вызванные заданными нагрузками.

Указания. Задача - на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При её решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем - равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учитывая при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что её реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны , и парой сил, момент которой тоже неизвестен.

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рис. 22, б ). Проведем координатные оси XY и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню и составляющие и реакции шарнира D . Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

,;( 1)

Балками будем называть прямолинейные стержни, работающие на изгиб. В сопротивлении материалов термин «балка» значительно шире, чем в обычном употреблении этого слова: с точки зрения расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является не только строительная балка, но также и вал, болт, ось железно­дорожного вагона, зуб шестерни и т. д.

Вначале ограничимся построением эпюр для простейшего случая изгиба балок, при котором все заданные нагрузки лежат в одной плоскости, называемой силовой (на рис. 4, а - плоскость П), при­чем эта плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки. Такой слу­чай будем называть плоским изгибом .

На расчетной схеме балку принято заменять ее осью (рис. 4, б). При этом все нагрузки, естественно, должны

Рис 4 быть приведены к оси балки и силовая плос­кость будет совпадать с плоскостью чер­тежа.

Как правило, балки имеют опорные устройства - опоры. Для расчета же их схематизи­руют в виде трех основных типов опор:

а) шарнирно-подвижная опора (рис. 5, а), в которой может возникать только одна составляющая реакции - , направленная вдоль опорного стерженька;

б) шарнирно-неподвижная опора (рис. 5, б), в которой могут возникать две составляющие - вертикальная реакция
и гори­зонтальная реакция

в) защемление (иначе жесткое защемление или заделка), где могут быть три составляющие - вертикальная
и горизонтальная
реакции и опорный момент Ма (рис. 5, в).

Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А - центре тяжести опорного сечения.

Балка, показанная на рис. 6, с, называется простой , или однопролетной , или двухопорной , а расстояние l между опорами - пролетом .

Консолью называется балка, защемленная одним концом и не имеющая других опор (рис. 4, б), или часть балки, свешивающаяся за опоры (часть ВС на рис. 6, б; части АС и BD на рис. 6, е). Бан­ки, имеющие свешивающиеся части, называют консольными (рис. 6, б, в).

Для плоской системы сил можно составить три уравнения статики для определения неизвестных реакций.

Поэтому балка будет статически определимой, если число неизвестных опор­ных реакций не превышает трех; в противном случае балка стати­чески неопределима. Очевидно, что балки, изображенные на рис. 4 и 6, статически определимы.

Балка, изображенная на рис. 7, а , называется неразрезной и яв­ляется статически неопределимой, поскольку имеет пять неизвестных опорных реакций: три в опоре А и по одной в опорах В и С.

Поставив в сечениях балки шарниры, например в точках D и Е (рис. 7, б), получим статически определимую шарнирную балку, ибо каждый такой промежуточный шарнир к трем основным уравнениям статики прибавляет одно дополнительное уравнение: сумма моментов относительно центра шарнира от всех сил, расположен­ных по одну сторону от него, равна нулю .

Построение эпюр для статически неопределимых балок требует умения вычислять деформации, а поэтому ограничимся пока исклю­чительно статически определимыми балками.

Способы определения опорных реакций изучают в курсе теоре­тической механики. Поэтому здесь остановимся только на некоторых практических вопросах. Для этого рассмотрим простую балку (рис. 6, а).

1. Опоры обычно обозначают буквами А и В. Три неизвестные реакции находят из следующих уравнений равновесия:

а) сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю:
откуда находят

б) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира А равна нулю:
откуда находят
.

в) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира В равна нулю:

откуда находят
.

2. Для контроля можно использовать или условие равенства нулю суммы проекций на вертикаль:

или условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-либо точки С, отличной от А и В, т. е.

У

Условием
пользоваться проще, но оно дает надежную про­верку только в тех случаях, когда к балке не приложены сосредо­точенные моменты.

3. Перед составлением уравнений равновесия нужно выбрать (вообще говоря, произвольно) направления реакций и изобразить их на рисунке. Если в результате вычислений какая-либо реакция получается отрицательной, нужно изменить на рисунке ее направ­ление на обратное и в дальнейшем считать эту реакцию положи­тельной,

5. Если на балку действует распре деленная нагрузка, то для определения реакций ее заменяют равнодействующей, которая равна площади эпюры нагрузки и приложена в центре тя­жести этой эпюры.

Пример 5. Вычислить опорные реакции для балки, показанной на рис. 8.

Прежде всего находим равнодействующие Р 1 и Р 2 нагрузок, распределенных на участках АС н СВ:

;
.

Сила Р 1 приложена в центре тяжести прямоугольника, а Р 2 - в центре тяжести треугольника. Находим реакции:

Балки предназначены для восприятия поперечных нагрузок. По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные (действуют на точку) и распределенные (действуют на значительную площадь или длину).

q - интенсивность нагрузки, кн/м

G = q L – равнодействующая распределенной нагрузки

Балки имеют опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий. Применяются следующие виды опор:

· Шарнирно-подвижная

Эта опора допускает поворот вокруг оси и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

· Шарнирно-неподвижная

Эта опора допускает поворот вокруг оси, но не допускает никаких линейных перемещений. Направление и значение опорной реакции неизвестно, поэтому заменяется двумя составляющими R A у и R A х вдоль осей координат.

· Жесткая заделка (защемление)

Опора не допускает перемещений и поворотов. Неизвестны не только направление и значение опорной реакции, но и точка её приложения. Поэтому заделку заменяют двумя составляющими R A у, R A х и моментом М А. Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений.

∑ m А (F к)= 0

Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на консольной балке, например точка В ∑ m В (F к)= 0

Пример. Определить опорные реакции жесткой заделки консольной балки длиной 8 метров, на конце которой подвешен груз Р = 1 кн. Сила тяжести балки G = 0,4 кн приложена посередине балки.

Освобождаем балку от связей, т.е отбрасываем заделку и заменяем её действие реакциями. Выбираем координатные оси и составляем уравнения равновесия.

∑ F kx = 0 R A х = 0

∑ F k у = 0 R A у – G – P = 0

∑ m А (F к)= 0 - M A + G L / 2 + P L = 0

Решая уравнения, получим R A у = G + P = 0,4 + 1 = 1,4 кн

M A = G L / 2 + P L = 0,4 . 4 + 1 . 8 = 9,6 кн. м

Проверяем полученные значения реакций:

∑ m в (F к)= 0 - M A + R A у L - G L / 2 = 0

9,6 + 1,4 . 8 – 0,4 . 4 = 0

11,2 + 11,2 = 0 реакции найдены верно.

Для балок расположенных на двух шарнирных опорах удобнее определять опорные реакции по 2 системе уравнений, поскольку момент силы на опоре равен нулю и в уравнении остается одна неизвестная сила.

∑ m А (F к)= 0

∑ m В (F k)= 0

Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение ∑ F k у = 0

1) Освобождаем балку от опор, а их действие заменяем опорными реакциями;

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.1. Определить опорные реакции консольной балки (рис. 3.3).

Решение. Реакцию заделки представляем в виде двух сил Az и Ay , направленных, как указано на чертеже, и реактивного момента MA .

Составляем уравнение равновесия балки.

1. Приравняем нулю сумму проекций на ось z всех сил, действующих на балку. Получаем Az = 0. При отсутствии горизонтальной нагрузки горизонтальная составляющая реакции равна нулю.

2. То же, на ось y: сумма сил равна нулю. Равномерно распределенную нагрузку q заменяем равнодействующей qaз, приложенной посредине участка aз:

Ay - F1 - qaз = 0,

Ay = F1 + qaз.

Вертикальная составляющая реакции в консольной балке равна сумме сил, приложенных к балке.

3. Составляем третье уравнение равновесия. Приравняем нулю сумму моментов всех сил относительно какой-нибудь точки, например относительно точки А:

Знак минус показывает, что принятое вначале направление реактивного момента следует изменить на обратное. Итак, реактивный момент в заделке равен сумме моментов внешних сил относительно заделки.

Пример 3.2. Определить опорные реакции двухопорной балки (рис. 3.4). Такие балки обычно называют простыми.

Решение. Так как горизонтальная нагрузка отсутствует, то Az = 0

Вместо второго уравнения можно было использовать условие того, что сумма сил по оси Y равна нулю, которое ы данном случае следует применить для проверки решения:
25 - 40 - 40 + 55 = 0, т.е. тождество.

Пример 3.3. Определить реакции опор балки ломаного очертания (рис. 3.5).

Решение.

т.е. реакция Ay направлена не вверх, а вниз. Для проверки правильности решения можно использовать, например, условие того, что сумма моментов относительно точки В равна нулю.

Полезные ресурсы по теме "Определение опорных реакций"

1. , которая выдаст расписанное решение любой балки. .
Кроме построения эпюр эта программа так же подбирает профиль сечения по условию прочности на изгиб, считает прогибы и углы поворота в балке.

2. , которая строит 4 вида эпюр и рассчитывает реакции для любых балок (даже для статически неопределимых).

5 семестр. Основы функционирования машин и их элементов в системе промышленного сервиса

Теоретическая механика это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Раздел 1.Статика- это раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Сила - это мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила определяется тремя элементами: числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. Сила изображается вектором.

Реакцией связи называется сила или система сил, выражающая механическое действие связи на тело.Одним из основных положений механики является пpuнцип освобождаемости т тел от связей, согласно которому несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил действуют реакции связей.

Задача 1. Определение реакций опор балки под действием плоской произвольной системы сил

Определить реакции R A и R B опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис. 1,а (поменять значения F и М).

Решение. 1. Составление расчетной схемы . Объект равновесия – балка АС . Активные силы: F = 3 к H , пара сил с M = 4 к H ∙м = 1 кН/м , которую заменяем одной сосредоточенной силой R q = q ∙ 1= 1∙ 3 = 3 к H ; приложенной к точке D на расстоянии 1,5 м от края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей изобразим в точках А и В реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции

и .

Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у - вертикально вверх (рис.1,а).

2. Условия равновесия:

.

3. Составление уравнений равновесия:

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов .

Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции

из (2): кН .

Величина реакции R A х имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рисунке, а в противоположную сторону.

Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.

Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:

0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.

Задача 2.Определение реакций опор составной конструкции

Конструкция состоит из двух тел, соединенных шарнирно в точке С . Тело АС закреплено с помощью заделки, тело ВС имеет шарнирно-подвижную (скользящую) опору (рис. 1). На тела системы действуют распределенная по линейному закону сила с максималь­ной интенсивностью q тах = 2 кН/м , сила F = 4 кН под углом α = 30 o и пара сил с моментом М = 3 кНм . Геомет­рические размеры указаны в метрах. Определить реакции опор и усилие, пе­редаваемое через шарнир. Вес элемен­тов конструкции не учитывать.

Рис. 1 Рис. 2

Решение .Если рассмотреть рав­новесие всей конструкции в целом, учитывая, что реакция заделки состо­ит из силы неизвестного направления и пары, а реакция скользящей опоры перпендикулярна опорной поверхно­сти, то расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 2.

Здесь равнодействующая распреде­ленной нагрузки

расположена на расстоянии двух метров (1/3 длины AD ) от точки А ; М А - неизвестный момент заделки.

В данной системе сил четыре неизвестных реакции (Х А , Y A , M A , R B ), и их нельзя определить из трех уравне­ний равновесия плоской произвольной системы сил.

Поэтому расчленим систему на отдельные тела по шарниру (рис.3).

Силу, приложенную в шарнире, следует при этом учи­тывать лишь на одном теле (любом из них). Уравнения для тела ВС :

Отсюда Х С = – 1 кН ; У С = 0; R B = 1 кН .

Уравнения для тела АС :

Здесь при вычислении момента силы F относительно точки А использована теорема Вариньона: сила F разло­жена на составляющие F cos α и F sin α и определена сум­ма их моментов.

Из последней системы уравнений находим:

Х А = – 1,54 кН ; У А = 2 кН ; М А = – 10,8 кНм .

Для проверки полученного решения составим уравнение моментов сил для всей конструкции относительно точки D (рис. 2):

Вывод: проверка показала, что модули реакций определены верно. Знак минус у реакций говорит о том, что реально они направлены в противоположные стороны.

Задание

Задана горизонтальная двух опорная балка. Балка нагружена активными силами: сосредоточенной F , распределенной силой интенсивностью q и парой сил с моментом М (табл.2.1 и рис 2.6).

Цель работы – построить расчётную схему балки, составить уравнения равновесия балки, определить реакции ее опор и выявить наиболее нагруженную опору.

Теоретическое обоснование

Во многих машинах и сооружениях встречаются конструктивные элементы, предназначенные преимущественно для восприятия нагрузок, направленных перпендикулярно их оси. Расчетные схемы таких элементов (валы, части металлоконструкции и др.) могут быть представлены балкой. Балки имеют опорные устройства для передачи усилий и сопряжения с другими элементами.

Основными типами опор балок являются шарнирно – подвижная, шарнирно – неподвижная опоры и жесткая заделка.

Шарнирно – подвижная опора (рис.2.1,а) допускает поворот балки вокруг оси шарнира и линейное перемещение на незначительное расстояние параллельно опорной плоскости. Точкой приложения опорной реакции является центр шарнира. Направление реакции R – перпендикуляр к опорной поверхности.

Шарнирно – неподвижная опора (рис.2.1,6) допускает только поворот балки вокруг оси шарнира. Точкой приложения являются также центр шарнира. Направления реакции здесь неизвестно, оно зависит от нагрузки, приложенной к балке. Поэтому для такой опоры определяются две неизвестные – взаимно перпендикулярные составляющие R x и R y опорной реакции.

Жесткая заделка (защемление) (рис.2.1,в) не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. Неизвестными в данном случае являются не только величина, но и её точка приложения. Таким образом, для определения опорной реакции необходимо найти три неизвестные: составляющие R x и R y по осям координат и реактивный момент MR относительно центра тяжести опорного сечения балки.

А б в

Рис.2.1

Равновесие балки под действием любой системы заданных сил, расположенных в одной плоскости, может быть обеспечено одной жёсткой заделкой или двумя опорами – подвижной и неподвижной. Балки называются соответственно консольными (рис.2.2,а) или двух опорными (рис.2.2,б)

Рис.2.2

На балку действуют заданные силы и пары сил. Силы по способу приложения делятся на распределенные и сосредоточенные. Распределенные нагрузки задаются интенсивно q, Н/м и длиной 1, м. равномерно распределенные нагрузки условно изображаются в виде прямоугольника, в котором параллельные стрелки указывают, в какую сторону действует нагрузка (рис.2.3). В задачах статики равномерно – распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой Q, численно равной произведению q * 1, приложенной посредине длины и направленной в сторону действия q.

Рис.2.3 Рис. 2.4

Сосредоточенные нагрузки приложены на сравнительно небольшой длине, поэтому считается, что они приложены в точке. Если сосредоточенная сила приложена под углом к балке, то для определения реакции опор удобно разложить её на две составляющие – F x = Fcos α и F y =F sin α (рис.2.4).

Реакции опор балки определяются из условий равновесия плоской системы произвольно расположенных сил. Для плоской системы можно составить три независимых условия равновесия:

∑F ix = 0; ∑F iy = 0; ∑M io = 0 или

∑М ia = 0; ∑M iB = 0; ∑M iC = 0 или } (2.1)

∑M iA = 0; ∑M iB = 0; ∑F ix = 0.

Где О, А,В, С – центры моментов.

Рационально выбрать такие уравнения равновесия, в каждое из которых входила бы по одной неизвестной реакции.

Порядок выполнения работы

1. В соответствии с заданием изобразить балку и действующие заданные силы.

Выбрать расположение координатных осей: совместить ось х с балкой, а ось у направить перпендикулярно оси х.

1. Произвести необходимые преобразования: силу, наклоненную к оси балки под углом а, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку – её равнодействующей.

2. Освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль осей координат.

3. Составить уравнения равновесия балки, чтобы решением каждого из трёх уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

4. Проверить правильность определения реакций опор по уравнению, которое не было использовано для решения задач.

5. Сделать вывод о наиболее нагруженной опоре.

6. Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?

2.Какие составляющие реакции опор балок возникают в шарнирно – подвижной, шарнирно – неподвижной опорах и жёсткой заделке?

3.Какую точку целесообразно выбрать в качестве центра момента при определении реакций опор?

4.Какая система является статически неопределимой?

Пример выполнения

1.Задание:

q = 5 H/м, F = 25 H, M = 2 H*м, α = 60°

2.Преобразование заданных сил:

F x = F cos α = 25cos 60° = 12.500H, F y = F sinα = 25 sin60° = 21.625H

Q = q*1 = 5*6 =30 H.

Рис.2.5

3.Составим расчётную схему (рис.2.5)

4.Уравнения равновесия и определение реакций опор:

а) ∑M ia = 0; -Q *3 – F y * 7.5+ R B * 8.5 – M = 0;

б) ∑M iB =0: - R Ay *8.5 + Q *5.5 + F y *1 – M = 0:

в) ∑F ix =0: R Ax + F x =0: R Ax = - F x = - 12.500H.

5.Проверка:

∑F iy = 0; R Ay = Q – F y + R B = 0; 21.724 – 30 – 21.651 + 29.927 = 0; 0 = 0

Наиболее нагруженной является опора В – R B =29.927 Н. Нагрузка на опору А – R A =

Литература:

Таблица 2.1

№ варианта	№ схемы на рис. 2.6	q , Н/м	F, Н	М, Н м	, град
		4,5
		2,5
		4,5
		3,5
		6,5
		1,5
		0,5