Многочлены от нескольких переменных решение однородных уравнений. Многочлены от нескольких переменных

Урок алгебры и начал анализа11-й класс

" Многочлены от нескольких переменных"

Цели: Расширить знания о многочленах с одной переменной и многочленах от нескольких переменных, о приемах разложения многочленов на множители.

Задачи:

Образовательные :

сформировать умения представлять многочлен с несколькими переменными в стандартном виде;

закрепить навыки разложения многочлена на множители разными способами;

научить применять ключевые задачи не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

Развивающие

обеспечить условия для развития познавательных процессов;

способствовать развитию логического мышления, наблюдательности, умения правильно обобщать данные и делать выводы;

c одействовать развитию умений применять знания в нестандартных условиях

Воспитательные :

создать условия для воспитания уважения к культурно-историческому наследию математической науки;

содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Тип урока: урок изучения новой темы

Оборудование: компьютер, проектор, экран, листы с заданиями.

План урока:

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, (1 мин.)
2. Актуализация опорных знаний. (6 мин.):

3. Изучение новой темы. (7 мин)
4. Закрепление полученных знаний. (15 мин)

5.Использование исторического материала. (3 мин)

6.Контроль результатов первичного закрепления – самостоятельная работа (5 мин)

6. Подведение итогов урока. Рефлексия. (2 мин)

7.Задание на дом, инструкция о его выполнении (1 мин.)

Ход урока

1. Вступительное слово учителя

Тема “Многочлены” (многочлены от одной переменной, многочлены от нескольких переменных),актуальна, умение делить “углом” многочлен на многочлен, теорема Безу, следствие теоремы Безу, использование схемы Горнера при решении уравнений высших степеней позволит вам справиться с наиболее сложными заданиями ЕГЭ за курс средней школы.

Не надо боятся ошибиться, совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках. Будьте активны, внимательны.

2.Актуализация опорных знаний

Работа на листах (разложить на множители разными способами) Работа в парах

2 x (x-y) + 3 y (x-y)

a (a+ b) -5 b (a+b)

3 a (a+ z)+ (a +z)

3a +3b +c (a+b)

2 (m +n) +km + kn

by +4 (x + y) + bx

x y +xz + 6y + 6z

4a + 4 b + bx + ax

cb + 3 a + 3b +ac

cd + 2b +bd +2 c

p 2 x + p x 2

2 ac -4 bc

3 x 2 + 3 x 3 y

6 a 2 b + 3 ab 2

9 x 2 – 4 y 2

16 m 2 – 9 n 2

X 3 +y 3

a 3 – 8 y 3

m 2 + 3m -18

2 x 2 + 3x+1

3 y 2 + 7 y – 6

3 a 2 + 7 a + 2

7 n 2 + 9 n + 2

6 m 2 - 11 m + 3

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

(Взаимопроверка поставить оценку)

Все ли понятно? С какими проблемами встретились?

Как представить в виде произведения???

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Вернемся к этому вопросу чуть позже.

3. Изучение новой темы.

Как можно назвать выражения, которые мы раскладывали на множители? Многочлен с несколькими переменными)

Стандартный вид многочлена с несколькими переменными

5 xx – 2 y x y 2 + (- 3 y ) + 45 xxyy можно ли назвать многочленом стандартного вида? Представьте в стандартном виде. 5 x 2 – 2 x y 3 + 45 x 2 y 2

(Различать многочлены с одной переменной и многочлены с несколькими переменными, представлять многочлен в стандартном виде, представлять многочлен в виде произведения))

Вы раскладывали на множители многочлены с несколькими переменными. Перечислите эти способы. (слайд)

Многочлены высших степеней с одной переменной раскладывали на множители по схеме Горнера, деление уголком, применяя теорему Безу.

Консультанты у доски объясняют двумя способами

. a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Вывод учителя: неочевидный способ, но интересный.

4.Закрепление полученных знаний

(Работа в группах № 2.2 учебника по возможности разложить на множители двумя способами, № 2.3)

№ 2.2

№ 2.3

5.Использование исторического материала.

Рассказы учащихся о Безу, Горнере

Связать с современностью

Самостоятельная работа

1 вариант

2 вариант

Дан многочлен f ( x ; y )= yx 5 y 2 x 2 + x 3 y 4 xy 2 -2 x 4 y (-1) y 5 – y 3 y 3 x 4 +15 x 4 yx 3 y 2 + x 2 y 2 ( x 5 y - x 2 y 4 )

Дан многочлен f(a;b)= a 2 b(a 3 b-b 2 a 2 )+4a 3 (-1)b 2 a 2 -2aba 4 b+ 7ab 0 a 4 b 2 -3a 3 bab 2

А) Приведите данный многочлен к стандартному виду.

Б) Установите, является ли данный многочлен однородным.

Б)Установите, является ли данный многочлен однородным.

В) Если данный многочлен является однородным, определите его степень.

(Проверка по слайдам) выставить себе оценку

7. Задание на дом, инструкция о его выполнении №.2.1; № 2.4(в, г); №2.7(б)для всех № 2.11 (а, б) Вывести формулу сокращенного умножения «Квадрат суммы трехчлена» , разложения на множители x n - y n для n - натурального.- для желающих Алгебра и начала анализа ч.2. Задачник 11 класс. Авторы: А. Г. Мордкович, П. В. Семенов;

8. Подведение итогов урока. Рефлексия

Этапы урока

Время, мин

Деятель-ность учителя

Деятель-ность учащихся

Методы, приемы и формы обучения

Прогнозируемый результат образова-тельной деятель-ности-

Учебно-методи-ческое обеспече-ние

Одночлены и многочлены от одной переменной

Одночленом (мономом) от переменной x называют целую неотрицательную степень переменной x , умноженную на число.

Таким образом, одночлен от нескольких переменных является произведением числа на несколько букв, каждая из которых входит в одночлен в целой неотрицательной степени .

Степенью одночлена называют сумму степеней всех входящих в него букв, т.е. сумму целых неотрицательных чисел:

i 1 + i 2 + … + i n .

Число c называют коэффициентом одночлена .

Пример . Степень одночлена

равна 3, а коэффициент равен - 0,83 .

Два одночлена равны , если, во-первых, у них равны коэффициенты, а во-вторых, одночлены состоят из одних и тех же букв, которые входят в них с соответственно равными показателями степеней.

Алгебраическая сумма одночленов от нескольких переменных носит название многочлена или полинома от нескольких переменных . Например,

Степенью многочлена от нескольких переменных называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

В частности, степень многочлена

равна 8.

Многочлен от нескольких переменных называют однородным многочленом , если степени всех входящих в него одночленов равны. В этом случае степень многочлена равна степени каждого входящего в него одночлена.

Например, многочлен

является однородным многочленом степени 3.

Понятие многочлена

Определение 1

Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.

Определение 2

Многочлен -- это сумма одночленов.

Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.

Определение 4

Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 6

Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 7

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.

Определение 8

Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.

Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 9

Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.

Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$

Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]

\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Разность многочленов

Пример 2

Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{4xy}^5+{10x}^5\]

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Произведения одночлена и многочлена

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен.

составляется произведение.
раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение.

Составим произведение:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Перемножив, получим.

Понятие многочлена

Определение 1

Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.

Определение 2

Многочлен -- это сумма одночленов.

Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.

Определение 4

Определение 5

Определение 6

Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 7

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.

Определение 8

Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.

Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 9

Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.

Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]

\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Разность многочленов

Пример 2

Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{4xy}^5+{10x}^5\]

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Произведения одночлена и многочлена

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен.

составляется произведение.
раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение.

Составим произведение:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Перемножив, получим.

Возьмем две буквы x и y. Произведение a*xk*yl где а - число, называется одночленом. Его степень равна k+l . Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи. Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n-ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3: x2-y2=(x-y)*(x+y) x3-y3=(x-y)*(x2+x*y+y2) Эти формулы легко обобщаются для произвольного n: xn-yn=(x-y)*(xn-1+xn-2*y+…+x*yn-2+yn-1) Сумма n-ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое yn можно представить в виде -(-y)n и воспользоваться формулой разложения разности n-ых степеней. Пример.

x5+y5=x5-(-y)5=(x-(-y))*(x4+x3(-y)+x2*(-y)2+x*(-y)3+(-y)4)=(x+y)*(x4-x3*y+x2*y2-x*y3+y4)

Это тождество проверяется прямым перемножением скобок правой части.

Симметричные многочлены

Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y.

Примеры симметричных многочленов 0) 1; 1) x+y; 2) x*y; 3) x2-x*y+y2; 4) x3+5*x2*y+5*x*y2+y3; 5) (x-y)10 Первые три многочлена называются основными: Их роль состоит в том, что любой симметричный многочлен от двух переменных может быть выражен через и с помощью операция сложения и умножения.

Рассмотрим в качестве примера разложение суммы степеней через суммы и произведение Пусть Умножим на Так как то Получаем тождество Зная и мы последовательно сможем вычислить для любого k. и т. д. С помощью теоремы Виета мы можем выразить любой симметричный многочлен от корней квадратного трехчлена через коэффициенты p и q, так как Например, найдем где - корни трехчлена Воспользуемся полученной ранее формулой для суммы 5-ых степеней: По теореме Виета Подставляя, получим От Ньютона идет другой способ решения этой (и аналогичной ей) задачи без использования формулы для Подставим корни и в уравнение. Получим равенства Сложим: умножим равенства на и и сложим: Продолжаем аналогично.