Тригонометрическая окружность. Исчерпывающее руководство (2019)
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Цель урока:
- Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении
тригонометрических уравнений:
отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.
Оборудование: Мультимедийная аппаратура.
Методический комментарий .
- Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
- Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести
отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.
Ход урока
Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).
| Значения | Уравнение | Формулы решения уравнений |
| sinx=a | ||
| sinx=a | уравнение решений не имеет | |
| а=0 | sinx=0 | |
| а=1 | sinx= 1 |
 |
| а= -1 | sinx= -1 |
 |
| cosx=a | ||
| cosx=a | уравнение решений не имеет | |
| а=0 | cosx=0 |
 |
| а=1 | cosx= 1 | |
| а= -1 | cosx= -1 |
 |
| tgx=a | ||
| ctgx=a |
При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.
Решение уравнений.
Задача
. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе
Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1 )
Рис. 1
Получаем, что
не может быть
решением исходного уравнения.
Ответ:
В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.
В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.
Задача 2. Решить уравнение.
Решение . Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.
Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)
Рис. 2
Из рисунка хорошо видно, что
– решение исходного уравнения.
Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение
3sin2x = 10 cos 2 x – 2 /
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.
В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение
6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т.е. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0
Т.к. в противном случае sinx = 0 , что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin 2 x+ cos 2 x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0 /
Пусть tgx = t , тогда t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2,t 2 = –8.
tgx = 2 или tg = –8;
Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.
Если к=0 , то x=arctg2 . Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=1 , то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=2
, то
. Ясно,
что данный корень не принадлежит нашему промежутку.
Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.
Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .
Значения к = –2, –3,… не рассматриваются.
Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку
Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.
Ответ:
Задача 4. Решить уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .
Решение. Приведем уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.
Откуда cos2x
Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства
Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3 .
При к=2 получим , при к=3 получим .
Ответ:
Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.
Задача 5. Решить уравнение
Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.
, 0
Так как к – целое число, то к=1 . Тогда х = – решение исходного уравнения.
Рассмотрим вторую систему совокупности
Если n=0
, то
. При
п = -1; -2;…
решений не будет.
Если п=1,
– решение
системы и, следовательно, исходного уравнения.
Если п=2 , то
При решений не будет.
Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
х - угол, который нужно найти,
а - любое число.
А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.
Для синуса:
Для косинуса:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Для тангенса:
х = arctg a + π n, n ∈ Z
Для котангенса:
х = arcctg a + π n, n ∈ Z
Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?
Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло...) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)
Разберёмся?
Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.
И так будет получаться всегда. При любом а.
Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.
Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:
х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Объединяем эти две серии в одну:
х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z
И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.
Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.
В простейшем тригонометрическом уравнении
sinx = а
тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!
Проверим математиков? А то мало ли...)
В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:
В ответе получились две серии корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:
х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:
х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z
Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)
Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:
х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.
При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:
х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.
А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:
х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.
Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)
Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.
Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.
Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.
И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)
Можно подвести итоги.
Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:
sinx = 0,3
Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:
х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.
А если уж вам попалось неравенство, типа
то ответ в виде:
х πn, n ∈ Z
есть редкая ахинея, да...) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.
Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)
Бонус:
При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово - два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там - два.
Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : Урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.
Цель урока:
- образовательная: закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности; стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
- развивающая: развивать логическое мышление, умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
- воспитательная: воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка готовности к уроку, приветствие.
II. Постановка цели.
Французский писатель Анатоль Франс однажды сказал: «…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.» Так давайте сегодня последуем этому мудрому совету и будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в ближайшее время на ЕГЭ.
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки отбора корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности. Окружность удобно использовать как при отборе корней на промежутке, длина которого не превышает 2π, так и в случае, когда значения обратных тригонометрических функций не являются табличными. При выполнении заданий будем применять не только изученные методы и способы, но и нестандартные подходы.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Решите уравнение: (Слайд 3-5)
a) cosx = 0
б) cosx = 1
в) cosx = - 1
г) sinx = 1
д) sinx = 0
е) sinx = - 1
ж) tgx = 1
з) tgx = 0
2. Заполните пропуски: (Слайд 6)
sin2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =
3. Покажите на числовой окружности следующие отрезки (Слайд 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].
4. Применяя теорему Виета и её следствия, найдите корни уравнений: (Слайд 8)
t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0
IV. Выполнение упражнений.
(Слайд 9)
Многообразие методов преобразований тригонометрических выражений подталкивает нас к выбору более рационального из них.
1. Решите уравнения : (Один ученик решает на доске. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения и записывают в тетрадь. Учитель следит за верностью рассуждений учащихся. )
1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; - 2π].
Решение.
[-7π/2; -2π]
Получим числа: - 7π/2; -19π/6;-5π/2.
Ответ: а) π /2+ πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) - 7π/2, -19π/6,-5π/2.
2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].
Решение.
a ) Разделим обе части уравнения на cos 2 x =0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]
Получим числа: - π+ arctg 3 ; -π/4; arctg 3.
Ответ: а) - π /4+ πn , arctg 3+ πn , n Є Z ; б) - π+ arctg 3 , -π/4, arctg 3.
3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [π; 3π].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]
Получим числа: π; 4π/3; 8π/3; 3π.
Ответ: а) π +2 πn , ±2 π /3+2 πn , n Є Z ; б) π, 4π/3, 8π/3, 3π.
4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π ;7π/2] .
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [; 7π/2]
Получим числа: 9π/4; 3π- arctg 5;1 3π/4.
Ответ: а) π /4+ πn , - arctg 5+ πn , n Є Z ; б) 9π/4, 3π- arctg 5, 1 3π/4.
5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2 π; -π/2]
Получим числа: -5π/3;- π .
Ответ: а) π +2 πn , ± π /3+2 πn , n Є Z ; б) -5π/3;- π .
2. Работа в парах : (Двое учащихся работают на боковых досках, остальные в тетрадях. Затем задания проверяются и анализируются.)
Решите уравнения:
Решение .
Учитывая, что tgx ≠1 и tgx >0, отберём корни с помощью числовой окружности. Получим:
x = arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
Ответ: arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
6соs2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; - π/2].
Решение.
a ) 6(cos 2 x - sin 2 x )-14 cos 2 x -14 cosxsinx =0; 6 cos 2 x -6 sin 2 x -14 cos 2 x -14 cosxsinx =0;
3 sin 2 x +7 cosxsinx +4 cos 2 x =0 Разделим обе части уравнения на cos 2 x=0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]
Получим числа: -5 π /4;- π - arctg 4/3.
Ответ: а) - π /4+ πn , - arctg 4/3+ πn , n Є Z ; б) -5π/4, - π - arctg 4/3.
3. Самостоятельная работа . (После выполнения работы учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работу своего одноклассника, исправляя ошибки (если таковы есть) ручкой с красной пастой.)
Решите уравнения:
1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Решение.
a ) 2(1- sin 2 x )+2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; 2-2 sin 2 x +2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; -2 sinx (sinx -1)-√2(sinx -1)=0;
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Получим числа: -11 π /4;-9 π /4.
Ответ: а) π /2+2 πn , - π /4+2 πn , -3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) -11π/4, -9 π /4 .
2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Укажите корни, принадлежащие отрезку
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: 13 π /4;3 π ;4 π .
Ответ: а) πn , ±3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) 13 π /4,3 π , 4 π .
3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].
Получим числа: -19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.
Ответ: а) π /2+2 πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) -19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.
V. Подведение итогов урока.
Отбор корней в тригонометрических уравнениях требует хороших знаний формул, умений применять их на практике, требует внимания и сообразительности.
VI. Стадия рефлексии.
(Слайд 10)
На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме
выразить своё отношение к изучаемому материалу.
Например:
Окружность.
Числовая, тригонометрическая.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует в ЕГЭ.
Реальность.
VII. Домашнее задани e .
1. Решите уравнения:
2. Практическое задание.
Составьте по два тригонометрических уравнения, содержащих формулы двойного аргумента.
VIII. Литература.
ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:АСТ: Астрель, 2013.
По вашим просьбам!
13. Решите уравнение 3-4cos 2 x=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку .
Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos 2 α. Получаем равносильное уравнение:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Делим обе части равенства на (-2) и получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
14. Найдите b 5 геометрической прогрессии, если b 4 =25 и b 6 =16.
Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . У нас (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.
15. Найдите производную функции: f(x)=tgx-ctgx.
16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=x 2 -12x+27
на отрезке .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке , нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Найдем значения функции при х=3 и при х=7, т.е. на концах отрезка.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Находим производную данной функции: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); критическая точка х=6 принадлежит данному промежутку . Найдем значение функции при х=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А теперь выбираем из трех полученных значений: 0; -8 и -9 наибольшее и наименьшее: у наиб. =0; у наим. =-9.
17. Найдите общий вид первообразных для функции:
Данный промежуток – это область определения данной функции. Ответы должны начинаться с F(x), а не с f(x) – ведь мы ищем первообразную. По определению функция F(x) является первообразной для функции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x). Так что можно просто находить производные предложенных ответов, пока не получится данная функция. Строгое решение – это вычисление интеграла от данной функции. Применяем формулы:
19. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану BD треугольника АВС, если его вершины А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).
Для составления уравнения прямой нужно знать координаты 2-х точек этой прямой, а нам известны координаты только точки В. Так как медиана BD делит противолежащую сторону пополам, то точка D является серединой отрезка АС. Координаты середины отрезка есть полусуммы соответственных координат концов отрезка. Найдем координаты точки D.
20. Вычислить:
24. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна
Эта задача — обратная к задаче № 24 из варианта 0021.
25. Найдите закономерность и вставьте недостающее число: 1; 4; 9; 16; …
Очевидно, что это число 25 , так как нам дана последовательность квадратов натуральных чисел:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Всем удачи и успехов!
