Как из диагонали найти сторону. Геометрические фигуры

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусов, равны все стороны, а противоположные стороны параллельны. Площадь квадрата равна произведению его двух сторон. Чтобы найти сторону квадрата, если известна только его площадь, надо извлечь квадратный корень из числа равному площади квадрата или найти число при умножении которого на такое же число получим число равное площади квадрата.

Например: площадь квадрата 25 см2. Сторона равна 5, т. к. 5 * 5 = 25.

Прямоугольник является геометрической фигурой, имеющей противоположные стороны равной длинны и параллельные друг другу. Боковые стороны прямоугольника пересекаются под прямым углом. В отличии от параллелограмма, прямоугольник имеет одинаковые диагонали.

Главной характеристикой прямоугольника является его длина и ширина.

Квадрат является частным случаем прямоугольника и имеет сходные характеристики. Отличие квадрата состоит в одинаковых сторонах. Длина и ширина квадрата одинакова.

Площади прямоугольника и квадрата имеют сходную методику определения, путем умножения значения длины фигуры на ее ширину.

Формула площади прямоугольника

S пр. = а * в;
S пр. - площадь прямоугольника;
а - длина прямоугольника;
в - ширина прямоугольника.

Формула площади квадрата

S кв. = а * а = а 2 ;
S кв. - площадь квадрата;
а - числовое значение длины стороны квадрата.

Значит для нахождения стороны квадрата необходимо из значения площади извлечь корень квадратный.

Найдем сторону квадрата

а = √ S кв. ;

Для примера возьмем значение площади квадрата равное 25 см2 и найдем значение стороны этой фигуры.

а = √ 25 = 5 см.

Проверяем:

S = 5 см * 5 см = 25 см 2 .

Ответ: сторону квадрата находим путем извлечения квадратного корня из значения площади.

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

Определения и соглашения

Квадрат - это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
Корень квадратный из числа , это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical - корень).
Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали , если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a . Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади .

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS .

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр . В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ , который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R . Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r .

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

d = rad2*a;
d = rad2*radS;
d = rad2*P/4;
d = 2*R;
d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить , что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Часто по ходу планирования дачного ландшафта возникает необходимость «втиснуть» какое-нибудь строение, например, сарай, баню или беседку, на определенный фрагмент участка. При этом нужно очень точно определить геометрические размеры будущей конструкции, так как в случае ошибки при строительстве придется столкнуться с большими проблемами. Похожая задача встает также при планировке внутреннего пространства жилого дома. Поэтому полезным будет знать, каким образом можно вычислить сторону квадрата, зная другие характеристики геометрической фигуры – площадь, диагональ, периметр.

Как найти сторону квадрата если известна только его площадь?

Проще всего вычислить размеры квадрата, если известна его площадь. С такой необходимостью при строительстве или разбивке огорода приходится сталкиваться часто. Например, если нужно определиться с размерами будущей теплицы, которая должна занимать определенное количество квадратных метров. Подобные расчеты приходится проводить также, когда необходимо разграничить единое пространство первого или второго этажа, выделив в нем квадратную комнату под спальню, кухню, гостиную или, в конце концов, санузел. При этом существуют строительные нормативы, согласно которым площадь функциональных помещений не должна быть меньше определенных значений.

Как известно, площадь прямоугольника определяется путем перемножения его сторон. Квадрат же является правильным прямоугольником, стороны которого равны, поэтому для вычисления его площади одну из сторон нужно возвести во вторую степень. Таким образом, чтобы найти сторону квадрата при известной площади, нужно извлечь из нее корень квадратный. К примеру, если задумано возводить квадратное строение с площадью 16 кв. м., то каждая его сторона должна быть 4 м. Если же решение квадратного корня не укладывается в целое значение (например, площадь составляет 17,5 кв. м.), то для вычисления можно воспользоваться обычным калькулятором. Он имеется в современных сотовых телефонах или среди приложений операционной системы Windows.

Как найти сторону квадрата если известен периметр?

Такая задача может встать перед дачником, например, при определении размеров парника или теплицы. Периметр в таких случаях определяется исходя из количества имеющихся в распоряжении строительных материалов. Если при этом неправильно задать сторону конструкции, то потом обязательно столкнешься с проблемами. Если размеры будут слишком малыми, то это повлечет за собой потерю полезной площади. А если заложить в план слишком большое значение стороны, то не хватит материалов, придется докупать их, а это дополнительные расходы и хлопоты.

Когда периметр квадрата известен, то для вычисления длины его стороны достаточно разделить числовое значение периметра на количество сторон, то есть на 4. Например, в распоряжении огородника имеется 40 м металлического уголка, который при строительстве теплицы используется как каркас для крепления пластиковых листов. Тогда нужно разделить это количество на 2, ведь направляющих будет две – сверху и снизу. Таким образом, периметр будущего парника – 20 м, а это значит, что его сторона должна быть 5 м.

Как найти сторону квадрата если известна только диагональ?

Это самый сложный вариант, хотя и в данном случае расчеты не представляют особой сложности. На помощь здесь приходит теорема Пифагора, согласна которой, возведенная в квадрат гипотенуза равна сумме катетов, также возведенных в квадрат. При этом диагональ квадрата с двумя примыкающими к ней сторонами есть ничто иное, как прямоугольный треугольник. Более того, поскольку стороны равны, то фигура еще является равнобедренной. А это значит, что формула Пифагора приобретает другую формулировку: возведенная во вторую степень диагональ получается равной квадрату стороны, умноженной на 2. Отсюда следует, что для определения стороны квадрата, нужно его диагональ сначала возвести во вторую степень, затем разделить на 2, а после этого вычислить из полученного значения корень квадратный.

Например, если диагональ предполагаемой конструкции планируется равной 10 м, то, возведя ее во вторую степень, получаем 100, делим на 2 и вычисляем из результата квадратный корень. В итоге, сторона квадрата определяется как 7,07 м.

Полезный совет

Для практических расчетов длины сторон квадрата можно воспользоваться помощью таких средств, как калькулятор, встроенный в поисковик Google. Для этого достаточно войти на указанный сайт и в строке для задания поиска ввести следующую надпись: «корень из ((D в квадрате)/2)». Вместо символа «D», конечно же, нужно подставить значение длины диагонали. Кстати, Google допускает использование символов ^ или sqrt для обозначения операций возведения в степень или вычисления корней соответственно. Так что, если кому-то это будет удобнее, то можно заменить предыдущее выражение на запись: «sqrt (D^2/2)».

Квадратом называют ромб с прямыми углами. Эта фигура единовременно является параллелограммом, прямоугольником и ромбом, владея исключительными геометрическими свойствами. Обнаружить сторону квадрата через его диагональ дозволено несколькими методами.

Вам понадобится

– теорема Пифагора;
– соотношение углов и сторон прямоугольного треугольника;
– калькулятор.

Инструкция

1. От того что у квадрата диагонали равны между собой (это качество ему досталось «по наследству» от прямоугольника), то для того, дабы обнаружить сторону квадрата довольно знать длину одной диагонали. Диагональ и две стороны квадрата , примыкающие к ней, представляют прямоугольный (от того что все углы квадрата прямые) и равнобедренный (потому что все стороны этой фигуры равны) треугольник. В этом треугольнике стороны квадрата являются катетами, а диагональ гипотенузой. Дабы обнаружить сторону квадрата , воспользуйтесь теоремой Пифагора.

2. От того что сумма квадратов катетов, которые равны a, равна квадрату гипотенузы, которую обозначьте c (c?=a?+a?), то катет будет равен гипотенузе, поделенной на корень квадратный из числа 2, что проистекает и предыдущего выражения a=c/?2. Скажем, дабы обнаружить сторону квадрата с диагональю 12 см, это число поделите на корень квадратный из 2. Получите a=12/?2?8,5 см. С учетом того, что корень квадратный из 2 нацело не извлекается, все результаты придется округлять с необходимой точностью.

3. Сторону квадрата обнаружьте, применяя соотношение углов и сторон в прямоугольном треугольнике, тот, что образуется диагональю и примыкающими к ней сторонами. Вестимо, что один из углов этого треугольника прямой (как угол между сторонами квадрата ), а два других равны между собой и составляют 45?. Это качество проистекает из равнобедренности этого треугольника, от того что катеты его равны между собой.

4. Дабы обнаружить сторону квадрата , умножьте диагональ на синус либо косинус угла 45? (они равны между собой, как прилежащий и противолежащий катеты sin(45?)=cos(45?)=?2/2) a=c??2/2. Скажем, дана диагональ квадрата , равная 20 см, необходимо обнаружить его сторону . Произведите расчет согласно указанной выше формуле, итогом будет сторона квадрата с требуемой степенью точности a=20??2/2?14,142 см.

Зачастую в геометрических задачах требуется обнаружить длину стороны квадрата, если знамениты другие его параметры – такие, как площадь, диагональ либо периметр.

Вам понадобится

Калькулятор

Инструкция

1. Если знаменита площадь квадрата, то для того, дабы обнаружить сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из числового значения площади (потому что площадь квадрата равняется квадрату его стороны):a=?S, гдеa – длина стороны квадрата;S – площадь квадрата.Единицей измерения стороны квадрата будет являться линейная единица измерения длины, соответствующая единице измерения площади. Скажем, если площадь квадрата дана в сантиметрах квадратных, то длина его стороны получится легко в сантиметрах.Пример:Площадь квадрата составляет 9 квадратных метров.Обнаружить длину стороны квадрата.Решение:a=?9=3Ответ:Сторона квадрата равняется 3 метрам.

2. В том случае, когда знаменит периметр квадрата, для определения длины стороны необходимо числовое значение периметра поделить на четыре (потому что квадрат имеет четыре стороны идентичной длины):a=P/4, где:a – длина стороны квадрата;P – периметр квадрата.Единицей измерения стороны квадрата будет являться та же самая линейная единица измерения длины как и у периметра. Скажем, если периметр квадрата задан в сантиметрах, то длина его стороны также получится в сантиметрах.Пример:Периметр квадрата составляет 20 метров.Обнаружить длину стороны квадрата.Решение:a=20/4=5Ответ:Длина стороны квадрата равняется 5 метрам.

3. Если знаменита длина диагонали квадрата, до длина его стороны будет равняться длине его диагонали, поделенной на корень квадратный из 2 (по теореме Пифагора, потому что смежные стороны квадрата и диагональ составляют прямоугольный равнобедренный треугольник):a=d/?2(т.к. a^2+a^2=d^2), где:a – длина стороны квадрата;d – длина диагонали квадрата.Единицей измерения стороны квадрата будет являться единица измерения длины та же самая, что и у диагонали. Скажем, если диагональ квадрата измерена в сантиметрах, то и длина его стороны получится в сантиметрах.Пример:Диагональ квадрата равняется 10 метров.Обнаружить длину стороны квадрата.Решение:a=10/?2, либо примерно: 7,071Ответ:Длина стороны квадрата равняется 10/?2, либо приблизительно 1,071 метра.

Представление “соотношение ” применяют в различных областях умений. Социальные науки постигают соотношение числа мужчин и женщин, работающих и безработных. В экономике знаменито соотношение потребности и предложения. В бизнесе оценивают соотношение заемного и собственного капитала. В математике исследуют соотношение сторон геометрических фигур. В спорте увлекательно соотношение роста и веса человека. В всеобщем смысле соотношение – это показатель, разрешающий оценивать разницу между величинами. В качестве иллюстрации обнаружим соотношение пройденного и оставшегося пути машины, перемещающейся из одного города в иной.

Инструкция

1. Определите путь, пройденный машиной. Возможен, машина прошла 120 км.

2. Определите путь, тот, что осталось пройти машине. Пускай осталось пройти 100 км.

3. Обнаружьте соотношение между пройденным и оставшимся путем. 120 км разделяем на 100 км, получаем 1,2.

4. Сделайте итоги. От того что величина соотношения огромнее 1, машина проехала огромнее половины требуемого расстояния. Пройденный путь в 1,2 раза превышает оставшийся путь.

Видео по теме

Обратите внимание!
Дабы водителю машины хватило воды и пищи на каждый путь, он должен следить за соотношением между съеденной и оставшейся пищей. Это соотношение должно соответствовать соотношению между пройденным и оставшимся путем.

Полезный совет
Для различных явлений жизни ученые разработали желанные соотношения, к которым нужно тяготиться для наибольшей результативности процесса. Такие желанные соотношения сведены в таблицы, помещенные в справочниках. Скажем, знамениты желанные соотношения роста и веса человека. Отклонение от этих значений в ту либо иную сторону показывает экспертам, что дозволено усовершенствовать.Если бы вы захотели оценить, классно это либо дрянно – соотношение 1,2 для машины, то обязаны были бы обратиться к соответствующему справочнику. В утилитарной деятельности люди на собственном навыке познают, какие соотношения являются классными, даже если они не указаны ни в каких таблицах. Скажем, если путь из одного города в иной занимает 2 дня, шофер машины по навыку может знать, что в 1-й день следует проехать огромнее, чем во 2-й, так как накапливается усталость. И чем выше соотношение, тем отменнее. Он может ехать так, дабы на конец 1-го дня соотношение пройденного и оставшегося пути оказалось не менее 1,8.Слежения могут подсказать вам наилучшие соотношения для всяких дел вашей жизни.

Квадрат – прекрасная и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же обнаружить диагональ квадрата , если знаменита длина его стороны?

Инструкция

1. Диагональ квадрата обнаружить довольно примитивно, воспользовавшись теоремой Пифагора.Поделим квадрат диагональ ю на два равных треугольника. В этом случае диагональ будет являться гипотенузой одного из треугольников. А, как вестимо, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.Рассматривая. что катеты – стороны квадрата и они равны, формула для расчета диагонали квадрата по его стороне дюже примитивна:длина диагонали квадрата равна длине его стороны умноженной на корень из 2-х.

Видео по теме

Полезный совет
Если точность математического итога не дюже главна, то взамен корня из 2-х дозволено применять его примерное значение 1,41.

Совет 5: Как обнаружить сторону квадрата, если вестима его диагональ

Квадрат является одной из особенно примитивных геометрических фигур в плане вычисления его параметров – длин сторон и диагоналей, площади и периметра. Это определяется тем, что в различие от других многоугольников, неизменно знамениты величины всех его углов, а также довольно знать длину каждого одной стороны. Нахождение длины стороны квадрата по знаменитой длине диагонали, как в всеобщем виде, так и с фактическими расчетами не представляет трудности.

Инструкция

1. Используйте теорему Пифагора, алгебраическая формулировка которой заявляет, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: a? + b? = c?. Потому что диагонали квадрата делят его на два именно таких прямоугольных треугольника, у которых к тому же еще и длины катетов идентичны, то дозволено сформулировать такое качество квадрата , как геометрической фигуры: квадрат длины диагонали равен удвоенному квадрату длины стороны (2a?=c?). Из этого вытекает, что длина стороны равна квадратному корню из половины квадрата длины диагонали: a=√(c?/2).

2. Воспользуйтесь встроенным в поисковую систему Google калькулятором для фактических расчетов по вычислению длины стороны квадрата . Скажем, если знаменитая длина диагонали равна 15 сантиметрам, то перейдя на сайт поисковика, введите такой запрос: «корень из ((15 в квадрате)/2)». Если вы привыкли применять символ ^ для обозначения операции возведения в степень и sqrt для обозначения операции извлечения квадратного корня, то Google верно осознает и такой запрос: «sqrt (15^2/2)». В любом случае результат будет идентичен: длина стороны квадрата равна 10,6066017 сантиметров.

3. Используйте, скажем, программный калькулятор из стандартного комплекта программ операционной системы Windows в качестве альтернативного метода для расчета длины стороны квадрата . Ссылка на его запуск упрятана достаточно велико в основное меню системы – позже щелчка по кнопке «Пуск» необходимо раскрыть раздел «Все программы», перейти в подраздел «Типовые», кликнуть секцию «Служебные» и предпочесть пункт «Калькулятор». Больше стремительный метод – нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc и нажать клавишу Enter.

4. Введите вестимую длину стороны, после этого нажмите клавишу со звездочкой и Enter – так вы исполните операцию возведения в квадрат. После этого нажмите клавишу с косой чертой, введите двойку и нажмите Enter. Позже этого щелкните кнопку с надписью sqrt и увидите желанную длину стороны квадрата – 10,606601717798212866012665431573 сантиметров.